一、函数、极限与连续
极限计算是基础中的基础，后续所有概念都依赖它。
- 两个重要极限
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\quad
\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\]
- 等价无穷小替换（当 \(x
\to 0\)）
\(\sin x \sim x,\; \tan x \sim x,\; \arcsin x
\sim x,\; \arctan x \sim x,\; \ln(1+x) \sim x,\; e^x-1 \sim x,\; 1-\cos
x \sim \frac12 x^2\)
- 洛必达法则：用于 \(\frac00\) 或 \(\frac\infty\infty\) 型，注意使用条件。
- 连续与间断点：第一类（可去、跳跃）与第二类（无穷、振荡）。
二、一元函数微分学
- 导数定义：\(f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta
x)-f(x_0)}{\Delta x}\)（可导必连续，反之不一定）
- 基本求导公式（必须烂熟）：
\((x^a)'=ax^{a-1},\; (e^x)'=e^x,\;
(\ln x)'=\frac1x,\; (\sin x)'=\cos x,\; (\cos x)'=-\sin x,\;
(\tan x)'=\sec^2 x,\; (\arctan x)'=\frac1{1+x^2}\)
- 四则运算与复合求导：\((uv)'=u'v+uv',\quad
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\)
- 中值定理与泰勒公式
- 罗尔、拉格朗日、柯西定理（理解几何意义）
- 泰勒展开（记住常用麦克劳林公式）：
\(e^x =
1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots\)
\(\sin x =
x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\)
\(\cos x =
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\)
\(\ln(1+x) =
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\)
\((1+x)^\alpha = 1+\alpha
x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots\)
- 导数应用：单调性与极值、凹凸性与拐点（二阶导）、最值问题。
三、一元函数积分学
核心思想：不定积分是求导逆运算，定积分是极限求和。
- 基本积分公式（反向导数表）
\(\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C\;(a\neq
-1),\;\int \frac1x dx = \ln|x|+C,\;\int e^x dx = e^x+C,\;\int \cos x dx
= \sin x+C,\;\int \sin x dx = -\cos x+C,\;\int \frac1{1+x^2}dx = \arctan
x+C\)
- 积分方法
- 凑微分（第一换元）：\(\int f(g(x))g'(x)dx = \int
f(u)du\)
- 第二换元：如根式代换 \(\sqrt{a^2-x^2}\) 设 \(x=a\sin t\)
- 分部积分：\(\int u dv =
uv - \int v du\)（口诀：反对幂指三，谁排后谁做 \(dv\)）
- 定积分：牛顿-莱布尼茨公式 \(\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\)
- 反常积分：无穷区间或无界函数，需通过极限判别敛散性。
- 几何应用：面积 \(A=\int_a^b |f(x)|dx\)，旋转体体积 \(V=\pi\int_a^b f(x)^2 dx\)，弧长等。
四、微分方程（上册收尾部分）
- 可分离变量：\(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\;\Rightarrow\;\int\frac{dy}{g(y)}=\int
f(x)dx\)
- 一阶线性：\(y'+P(x)y=Q(x)\)，通解 \(y=e^{-\int Pdx}\left[\int Q e^{\int Pdx}dx +
C\right]\)
- 二阶常系数齐次：\(y''+py'+qy=0\)，特征方程 \(r^2+pr+q=0\)
- 两不等实根 \(r_1,r_2\)：\(y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\)
- 重根 \(r\)：\(y=(C_1+C_2 x)e^{rx}\)
- 共轭复根 \(\alpha\pm
i\beta\)：\(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta
x+C_2\sin\beta x)\)
- 非齐次特解形式：\(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\) 时，设特解 \(x^k Q_m(x)e^{\lambda x}\)（\(k\) 为 \(\lambda\) 作为特征根的重数）
五、向量代数与空间解析几何（下册开头）
- 向量运算：数量积 \(a\cdot
b=|a||b|\cos\theta\)，向量积 \(a\times
b\)（方向右手定则，模 \(|a||b|\sin\theta\)）
- 平面方程：点法式 \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
- 直线方程：点向式 \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)
- 常见曲面：球面、柱面、旋转曲面（如旋转抛物面 \(z=x^2+y^2\)）
六、多元函数微分学
- 偏导数：对 \(x\)
求导时视 \(y\) 为常数。
- 全微分：\(dz =
\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial
y}dy\)
- 复合函数求导（链式法则）：设 \(z=f(u,v),\;u=u(x,y),\;v=v(x,y)\)，则
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial
f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial
v}\frac{\partial v}{\partial x}\)
- 隐函数求导：对 \(F(x,y)=0\) 有 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\)（注意负号）
- 极值与条件极值
- 无条件：求驻点，用 \(AC-B^2\)
判别（\(A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}\)）
- 条件极值：拉格朗日乘数法，构造 \(L=f+\lambda\varphi\)，解方程组。
七、重积分
- 二重积分计算
- 直角坐标：\(\iint_D
f(x,y)dxdy\)，先 \(y\) 后 \(x\) 或先 \(x\) 后 \(y\)
- 极坐标变换：\(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dxdy = r\,dr
d\theta\)（关键看被积函数含 \(x^2+y^2\) 或区域为圆/扇形）
- 三重积分计算
- 直角坐标（投影法、截面法）
- 柱坐标：\(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z,\;dV = r\,dr
d\theta dz\)
- 球坐标：\(x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\;y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\;z=\rho\cos\varphi,\;dV
= \rho^2\sin\varphi\,d\rho d\varphi d\theta\)
八、曲线积分与曲面积分
- 第一类曲线积分（对弧长）：\(\int_L f(x,y)ds\)，化为定积分时 \(ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)
- 第二类曲线积分（对坐标）：\(\int_L Pdx+Qdy\)，与方向有关。
- 格林公式：\(\oint_L
Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial
P}{\partial y}\right)dxdy\)（将闭曲线积分转化为二重积分）
- 曲线积分与路径无关条件：\(\frac{\partial
Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial
y}\)，此时可求原函数。
- 第一类曲面积分（对面积）：\(\iint_\Sigma f(x,y,z)dS\)，投影计算时 \(dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy\)
- 第二类曲面积分（对坐标）：\(\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\)
- 高斯公式：\(\iint_{\partial\Omega} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =
\iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial
Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial
z}\right)dV\)（闭曲面→三重积分）
- 斯托克斯公式：将空间曲线积分转为曲面积分。
九、无穷级数（最后一部分）
- 常数项级数敛散性判别
- 正项级数：比较判别法、比值判别法（达朗贝尔）、根值判别法（柯西）
- 交错级数：莱布尼茨判别法（\(u_n\)
递减趋于0则收敛）
- 绝对收敛与条件收敛
- 幂级数
- 收敛半径求法：\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
或 \(R=1/\lim\sqrt[n]{|a_n|}\)
- 和函数求法：逐项求导、逐项积分，结合已知展开式（如 \(\frac1{1-x}=\sum x^n,\;|x|<1\)）
- 傅里叶级数
- 周期为 \(2\pi\)：\(f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos
nx + b_n\sin nx)\)
其中 \(a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos
nx dx,\; b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx\)
- 记住狄利克雷收敛定理：间断点处收敛于左右极限平均值。