量子力学笔记

黑体辐射

黑体是能量吸收率100%的物体。黑体辐射就是黑体在温度\(T\)时发射的辐射。它的总辐射能和温度的四次方成正比，而单色辐出度的峰值和温度成反比。

光电效应

金属受波长\(\lambda\)的光照射，会发出电子，其初动能只与金属遏止频率和光照频率有关，在加速电压作用下，会遏止（电压等于初动能）或者达到饱和（所有电子都被加速到阴极）

\[ \frac{1}{2}mv_m^2=eU_\text{遏止} \]

光量子假说

\[ h\nu=\frac{1}{2}mv_m^2+A \]

就是光子能量\(\epsilon=h\nu\)等于光子最大初动能+逸出功。光子能量大于逸出功就开始逸出，多余的能量就是最大初动能。刚好逸出时，有\(\nu_0=\frac{A}{h}\)。这就是遏止频率。

波粒二象性

动质量： \(m_\phi=\frac{\epsilon}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}\)，由相对论得出。静质量为0 动量： \(p=m_\phi c=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}\)

康普顿效应

一束X射线经过石墨散射后，有的直着过去了，有的偏转了点角度，还有的被弹回去了。角度改变的粒子大多能量都变低了。

• 波长偏移角\(\Delta \lambda = \lambda-\lambda_0\)随着散射角\(\phi\)（散射线与入射线的夹角）的增大而增大，且入射角越大，偏移的越多，没偏移的粒子数越少
• 上面的多少变化随着原子序数的增加变得越来越不明显，即，原子序数大的粒子，所有粒子的偏移角虽然没变，但是偏移的粒子数目越来越少。
• \(\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_0c}(1-cos\phi)=2\lambda_csin^2\frac{\phi}{2}\)
• 上面的\(\lambda_c\)是康普顿波长，和原子无关

玻尔的氢原子理论

巴尔默系：\(\frac{1}{\lambda}=\frac{4}{B}(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})\)

B是常量，它表示氢原子光谱中各谱线的波长。把B和2换成其他数就能得到光谱的其他线系。

德布罗意波

质量\(m\)的粒子以速度\(v\)运动时，具有能量\(E\)和动量\(p\)，也具有波长\(\lambda\)和频率\(\nu\)，它们遵从：

\(E=mc^2=h\nu\)

\(p=mv=\frac{h}{\lambda}\)

故有静质量粒子的平面单色波（物质波）波长是：

\[\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m_0v}=\frac{h}{m_0v}\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}\]

对于电子轨道，只有物质波满足驻波条件，才能在轨道稳定传播：

\[ 2\pi r=n\lambda, n=1,2,3,\cdots \]

代入\(\lambda=\frac{h}{mv}\)，得

\[ mvr=n\frac{h}{2\pi},n=1,2,3,\cdots \]

即轨道角动量量子化条件。将康普顿实验的X光换为粒子来测量微观粒子波长后，证实了德布罗意的猜想，电子的波动性。

不确定性原理

物质不是单色平面波，所以动量不确定。而微观粒子位置也有不确定度。这俩满足

\[ \Delta x\Delta p_x\geq\frac{h}{2} \]

对其他三个坐标一样。还有一个不确定性原理：

\[ \Delta E\Delta t\geq \frac{h}{2} \]

波函数

因为上述的不确定性原理，需要用波函数描述微观粒子运动状态。

\[ y(x,t)=y_0cos2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda}) \]

代入物质波规律，得到：

\[ f(x,t)=f_0e^{-i\frac{2\pi}{h}(Et-px)} \]

这就是能量为\(E\)，动能\(p\)，沿\(x\)方向运动的物质波的波函数。在空间某地点，粒子出现的概率正比于当前状态波函数的平方。

某状态粒子出现概率正比于波函数和它共轭复数的乘积。归一化条件：\(\int_V|f|^2dV=1\)。波函数是单值、有限、连续（包括其一阶导）而且是归一化的函数。

薛定谔方程

\[ -\frac{h^2}{2m}\frac{\delta^2y}{\delta x^2}=ih\frac{\delta y}{\delta t} \]

在势场中，有

\[ -\frac{h^2}{2m}\frac{\delta^2y}{\delta x^2}+U(x,t)y=ih\frac{\delta y}{\delta t} \]

能量公式：

\[ E=\frac{n^2\pi^2h^2}{2ma^2}=E_n,=1,2,3,\cdots \]

概率密度：

\[|y_n(x)|^2=\frac{2}{a}sin^2\frac{n\pi}{a}x,n=1,2,3,\cdots\]

对\(x\)求导一次，求它的零点，得概率最大位置\(x=(2N+1)\frac{a}{2n}\)

角动量空间量子化

电子绕核运动的\(L\)的取向量子化。其中，\(L\)表示角动量。它在外磁场方向\(Z\)的投影为

\[ L_z=m_lh \]

磁量子数：\(m_l=0,\pm 1, \pm 2, \cdots , \pm l\)。即，\(m_l\)取值受\(l\)限制。

对同一个\(l\)，角动量方向有\(2l+1\)个可能的取值，合大小不变。

例如，\(l=2\)时，电子角动量大小为\(L=\sqrt{2(2+1)}h=\sqrt{6}h\)，空间取向\(L_z=2h,h,0,-h,-2h\)。

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四个量子数

在量子力学中，每个电子的状态都由四个量子数描述。这些量子数分别是：

1. 主量子数（\(n\)）：主量子数表示电子所处的能级。它的取值为正整数（1、2、3……），并决定了电子的能量大小。主量子数越大，能量越高，电子所处的轨道也越远离原子核。

2. 角量子数（\(l\)）：角量子数决定电子轨道的形状。它的取值为 0 到 n-1 的非负整数，表示电子在该能级中的角动量大小。不同的角量子数对应不同的轨道形状，如 l=0 对应 s 轨道，l=1 对应 p 轨道，l=2 对应 d 轨道，以此类推。

3. 磁量子数（\(m_l\)）：磁量子数描述电子在轨道上的位置。它的取值为 -l 到 l 的整数，共有 2l+1 种可能性。不同的磁量子数对应不同的轨道空间取向，例如对于 l=1 的 p 轨道，m 取值为 -1、0、1，分别对应着三个不同的空间方向。

4. 自旋量子数（\(m_s\)）：自旋量子数描述电子的自旋性质。它的取值为 +1/2 或 -1/2，表示电子自身的自旋方向。自旋量子数是一个纯粹的量子现象，与经典物理中的旋转概念并不相同。

例如，氢原子中处于\(3d\)量子态的电子，其量子态的四个量子数\((n,l,m_l,m_s)\)可能取的值为\((3,2,-2\to2,\pm \frac{1}{2})\)