第一章：概率论的基本概念

概率论的内容组织线索：

随机现象与随机实验

随机现象分为确定性现象、不确定性现象。前者结果确定，例如太阳东升西落；后者现象不确定，例如未来的天气。随机试验E表示，针对随机现象的观察、记录、试验。它有如下特点：

• 可重复
• 全部可能性已知
• 试验前不确定试验结果

样本空间与随机事件

样本空间\(\Omega\) 指的是随机试验E的所有结果构成的集合，记为\(\Omega={e}\)。每个结果\(e\)是\(\Omega\)中一个元素，称为样本点。其中的元素数量可以无限。

一些随机试验E的样本点的集合（可空）称为随机事件，也称事件。全体样本点构成的集合称为样本空间，记为\(\Omega\)。每次试验，当且仅当该子集的一个样本点出现时，称这一事件发生。

如果Ω只包含有限个样本点，则单个样本点构成的事件（单点集），称为基本事件。

如果将Ω亦视作事件，是自身子集，则每次试验，Ω总是发生，称为必然事件。

空集Φ也是样本空间Ω的子集，不包含任何样本点，称为不可能事件。

事件间的关系

事件间有如下几种运算：

• 包含
• 并事件（至少一个发生）
• 交事件（同时发生），简写为AB
• 差事件：一个发生且另一个不发生

对应几种运算律：

• 交换律：并事件/交事件顺序可互换
• 结合律：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• 分配律： \[A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\] \[A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\]
• 德摩根律： \[\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A}\overline{B}\] \[\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\]

也有几种关系：

• 互斥：A、B不同时发生
• 对立/互逆：每次试验A、B必有一个发生。A的逆事件记作\(\overline{A}\)。

概率及其性质

在相同的条件下，进行了n次试验，其中事件A发生的次数\(n_A\)称为事件A发生的频数，比值\(n_A/n\)称为事件\(A\)发生的频率 , 记为\(f_n(A)\)。其中，频率取值范围\([0,1]\)，且\(f_n(\Omega)=1\)。对于一组互不相容的事件而言，其并事件的频率为各自频率之和。

重复试验的次数n 逐渐增大时，频率 \(f_n(A)\) 呈现稳定性，趋于某个常数\(p\)，这是统计的规律性。

由大数定律可证明，由频率的稳定性和频率的性质，得概率定义：重复试验的次数趋于无穷，频率\(f_n(A)\)接近概率\(P(A)\)。它有这么几个性质：频率取值范围\(P(A)\geq 0\)，且\(P(\Omega)=1\)。对于一组互不相容的事件而言，其并事件的概率为各自概率之和。这三性质就是柯尔莫哥洛夫公理。

它有如下性质：

• \(P(\Phi)=0\)
• 互不相容和事件的概率为每个事件的概率之和
• 若有\(A\subset B\)，则\(P(B – A) = P(B) - P(A)\)
• 对任一事件\(A\), \(P(A)\leq 1\)
• 对立（互逆）事件的概率之和为1
• \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\) 上面这条，推广到任意多事件（或者直接整体法然后分n次使用上面这条），可得到： \[ P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=\Sigma_{i=1}^n P(A_i)-\Sigma_{1\leq i\leq j\leq n} P(A_iA_j)+ \Sigma_{1\leq i\leq j\leq k\leq n}P(A_iA_jA_k) + \cdots +(-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n) \]
• 极限性：设\(A_1\subset A_2\subset \cdots \subset A_n\subset \cdots\)是一系列上升的事件，则\(\lim_{n\to \infty}P(A_n)=P(\cup_{i=1}^\infty A_i)\)，反之也成立，将并换做交即可。

古典概率

古典概型（等可能概型） 的定义为：若试验 E 满足： 1. 样本空间Ω包含有限个元素 2. 出现每一样本点的概率相等 （等可能性），即试验中每个基本事件发生的可能性相同，故

\[ P(A)=\Sigma_{i=1}^kP({e_i})=\frac{k}{n} \]

古典概型的样本空间由n个独立等可能事件组成，故每个基本事件的概率都为\(\frac{1}{n}\)。

排列和组合也是古典概率中重要的两个公式。排列表示从n个对象中按顺序选出m个对象：

\[ A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

组合表示从n个对象中任选m个对象：

\[ C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

上面两式中，均有\(n\geq m\)。

加法原理和乘法原理高中就讲过，前者表示若完成一件事可有n类办法，其中，在第一类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第二类办法中有\(m_2\)种不同的方法，……， 在第n类办法中有\(m_n\)种不同的方法，则共有\(\Sigma_{i=1}^nm_i\)种方法完成这件事；而乘法原理表示若完成一件事需分解成n个步骤，其中，做第一步有 \(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法，……， 做第n步有\(m_n\)种不同的方法，则完成这件事的方法共有\(\Pi_{i=1}^nm_i\)种。

大学中新增加了实际推断原理，它的内容为：概率很小的事件在一次试验中几乎是不发生的。这符合我们对概率的直觉感受。注意这不能理解成“小概率事件从不发生”。与此同时，它还有另一层含义：小概率事件在大量重复试验中必然发生。

几何概率

在几何概型中，试验 E 满足： 1. 所有可能的样本点构成的样本空间是“连续”的，构成了一个不可数无穷集 2. 样本点是“均等的” ，即一次试验中，没有哪一个或哪一些比另一个或另一些更容易出现

直观上，每个事件发生的概率只与该事件的度量（如长度、面积、体积等）成正比例。

这种概率的计算公式为：

\[ P(A)=\frac{A_{len/size/volume}}{\Omega_{len/size/volume}} \]

条件概率与概率的三大公式

这是第一章的重点内容。

条件概率的公式如下。意思为：A发生的条件下B发生的概率，等于AB同时发生的概率除以A发生的概率。设试验共包含n个基本事件，A有m（m>0）个，AB有k个，则

\[ P(B|A)=\frac{k}{m}=\frac{k/n}{m/n}\frac{P(AB)}{P(A)} \]

条件概率 P(·/A) 具有概率的所有性质：非负性、规范性、可列可加性。它也满足其他性质，例如：

乘法公式

条件概率公式也可以反过来用来计算交事件的概率：\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)，即乘法公式。

它也可以推广，逐项展开即可：

全概率公式

\[ P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i) \]

上面的公式就是全概率公式。它表示\(B\)的概率可以用一系列概率和表示。

![[Pasted image 20230204114959.png]]

如上图所示，完备事件组是全样本空间的一个划分\(\{A_i\}\)，\(B\)是一个横跨数个划分块的事件。造成B的可能有很多种，而全概率公式就是把这所有的概率加起来计算事件的总概率。

贝叶斯公式

\[ P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum{P(A_i)P(B|A_i)}} \]

，且其中\(P(B)\gt 0\)。

继续按照上图的划分理解，这公式表示计算某因素\(A_i\)导致\(B\)发生的概率。

上面俩公式的用法是：明确起点事件、终点事件，画出起点到终点的所有路径。随后计算各路径的概率和（全概率）或者某路径在所有路径的占比（贝叶斯公式）。

独立性

后边再说