球面几何学

证明：过球面上两点的最短弧是大圆短线

好，我们一步步推理这个问题。

1. 问题重述

已知：球面上给定两点 ( A, B )，球面上连接 ( A, B ) 的曲线很多，其中长度最短的曲线是 球面大圆（过球心的平面与球面的交线）上连接 ( A, B ) 的 较短的那段弧。

要证明： 1. 最短路径在大圆上。 2. 大圆上两点之间的弧有两段（一长一短），最短的是较短的那段。

2. 符号与假设

设球半径 ( R )，球心 ( O )。 两点 ( A, B ) 在球面上，且 ( A B ) 且 ( A ) 与 ( B ) 不是对径点（对径点时大圆的两段弧长度相等，都是半圆，此时最短路径不唯一，但结论仍成立）。

3. 思路

3.1 变分法思想（直观解释）

在光滑流形上，局部最短路径是测地线。对于球面，测地线是大圆。 证明方法之一： - 在球面上任取一条可求长曲线 ( (t) ) 连接 ( A, B )，参数 ( t )，且 ( |(t)| = R )（在球面上）。 - 计算长度 ( L[] = _0^1 R ’(s) ) 形式不方便，更简单是用三维欧氏空间中的长度来辅助推理。

3.2 三维欧氏空间中的长度

球面曲线 ( ) 在 ( ^3 ) 中的长度是 [ L[] = _0^1 |‘(t)| , dt. ] 但这里 ( (t) ) 在球面上，所以 ( |(t)| = R )，对 ( t ) 求导得 ( ’ = 0 )。

3.3 比较曲线长度与大圆弧长

设 ( A, B ) 对应的单位向量为 ( = , = )。 大圆的圆心角为 ( = ( ) )，且 ( 0 < )。 大圆弧长 ( L_{} = R)。

关键引理：对球面上任何曲线 ( (t) ) 从 ( A ) 到 ( B )，其在三维空间的长度 ( L_{}[] AB )，等号成立当且仅当曲线是直线段（在 ( ^3 ) 中）。 但直线段不在球面上（除非 ( A, B ) 重合），所以球面曲线必须弯曲，因此三维长度一定大于弦长。

不过，我们比较的是球面曲线的 球面长度（即三维长度，因为球面曲线在三维的度量就是它的弧长），不是与弦长比较，而是与 ( R) 比较。

3.4 用球极投影或变分法严格证明

测地线方程：在球面上，加速度向量（在三维中）与位置向量平行（即 ( ’‘(t) ) 平行于 ( (t) )）时，曲线是测地线。 推导： 约束 ( ||^2 = R^2 )，对弧长参数 ( s )（球面上的弧长），有 ( ’ = 0 )，再求导： [ ’ ’ + ’’ = 1 + ’’ = 0 ( |‘| = 1)。 ] 所以 ( ’’ = -1 )。 但测地线条件要求 ( ’’ ) 垂直于球面切空间，即 ( ’’ ) 平行于 ( )，设 ( ’’ = -k )，代入 ( ’’ = -k R^2 = -1 ) 得 ( k = 1/R^2 )，所以 [ ’’ + = 0。 ] 解这个三维微分方程得 ( (s) = (s/R) + (s/R) )，其中 ( , ) 是垂直的单位向量且 ( ||=R ) 等。这表示曲线是平面曲线，且该平面过原点，所以是大圆。

因此，球面上局部最短路径（测地线）是大圆弧。

3.5 全局最短性

给定两点 ( A, B )（非对径点），大圆被分成两段弧，圆心角分别为 ( ) 与 ( 2- )，对应弧长 ( R) 与 ( R(2- ) )。显然 ( R< R(2- ) ) 当 ( 0 < < )。

要证明没有其他大圆或非大圆路径比 ( R) 更短： - 任何非大圆的路径，其局部不是测地线，可以在局部用测地线替换得到更短路径（变分法），所以整体最短必为大圆弧。 - 大圆中较长的那段弧显然更长。

因此最短的就是大圆的较短弧。

3.6 对径点情况

若 ( = )，两段大圆弧长度相等，都是半圆 ( R )，任何其他路径长度大于半圆（可证），所以最短路径不唯一（两条半圆都是最短）。

4. 简洁证明（初等几何法）

考虑球面上任意一条曲线 ( C ) 连接 ( A, B )。 用 过 ( A, B ) 的大圆平面 ( ) 将球面切成两个半球，曲线 ( C ) 可能不在大圆上。

将曲线 ( C ) 以 垂直投影 到平面 ( ) 上（沿垂直于 ( ) 的方向投影），得到平面曲线 ( C’ ) 在 ( ) 上连接 ( A, B )，且投影不增加长度（实际上可能缩短，除非原曲线在垂直于 ( ) 的方向没有摆动）。

在平面 ( ) 上，连接 ( A, B ) 的最短曲线是直线段（弦），但直线段在球面上不存在（除非退化）。不过，在球面上，大圆弧在平面 ( ) 上的投影就是它自身（因为就在 ( ) 上），并且大圆弧的长度 ( R) 等于在平面 ( ) 上连接 ( A, B ) 的 任何曲线 在三维长度上的一个下界（通过投影论证可得）。

更直接的方法： 设曲线 ( (t) ) 在球面上，其切向量分解为在平面 ( ) 内的分量和垂直于 ( ) 的分量。 球面曲线的长度平方积分： [ L = , dt |v_| , dt。 ] 而 ( |v_| , dt ) 至少是平面 ( ) 上连接 ( A, B ) 的最短路径长度，即弦长 ( 2R(/2) ) 吗？不完全是，因为 ( v_) 积分给出的是平面曲线长度，而平面曲线最短是直线段长 ( 2R(/2) )，但大圆弧长 ( R> 2R(/2) )（对 ( >0 )）。

所以这个投影法只能证明大圆弧比同样 投影在平面 ( ) 上曲线 的某种长度短，但不足以直接得到球面最短。

5. 球面三角不等式法

已知球面上两点之间的大圆弧是测地线，球面三角不等式：对球面上任意三点，球面距离 ( d(A,B) d(A,C) + d(C,B) )，等号成立当且仅当 ( C ) 在 ( A, B ) 的短程线上。 因此，若取 ( d(A,B) ) 定义为短程线长度（即较短的大圆弧长），则任何其他曲线可以近似为折线，每段是测地线，由三角不等式，直接路径（大圆弧）最短。

6. 结论

综合以上： 1. 球面测地线是大圆。 2. 给定两点，大圆上两段弧中较短的那段是唯一最短路径（对径点除外，有两条）。 3. 证明方法可用测地线方程、变分法或球面几何的三角不等式。

因此，过球上两点的最短弧是过两点的大圆的较短弧。

最终答案： [ ]