第一章：数制，编码和逻辑代数基础

大二上学期[[数字电路]]学习笔记。

第一章内容很少，主要是数学基础（进制转换）、布尔代数基础，还有几种编码方式。

数制和数制转换

数的表示方法有位置记数法和按位权展开法。比如345，一般我们会读作三百四十五，这就是位置记数法。而位权表示法则是按照各位的权值对数字进行表示：

\[ (345)_{10}=3\times 10^2+4\times 10^1+5\times 10^0 \]

下角标10表示十进制。对于任意进制的数都可以如此表示。

常见的[[进制转换]]有：

1. n进制转十进制：将n进制数按照位权表示法展开后再求和相加即可得到结果
2. 十进制转n进制：短除法，用对应的基数不断除待转换的数，并将每次得到的余数倒序列写，即可得到对应进制的数

特别声明一下小数部分的转换。n进制转十进制依然是用位权乘以数位，转n进制的话则是用基数乘法，将\(.M\)逐次乘以位权，取整数部分为新的小数位，小数部分继续重复上面的操作，所得到的新的小数位依顺序排列得到小数部分。

二进制，八进制和十六进制互相转换十分简单，在后续内容中较为常用。

逻辑函数

开关通断用0和1表示，就能用布尔代数进行计算。

基本逻辑运算

1. 与（逻辑乘）：\(F=A\cdot B\)，也可以表示为\(F=AB\)。 有一个为0则结果为0
2. 或（逻辑加）：\(F=A+B\)，一个为1则为1
3. 非：\(\overline{A}\)，取反值

基本定理

1. 常量与变量：\(A\cdot 0 = 0, A\cdot 1=A,A+0=A,A+1=1\)
2. 交换律（或、与都遵循）、结合律（或、与都遵循）、分配律（或对与分配，与对或分配）
3. 互补律：\(A\cdot \overline{A}=0,A+\overline{A}=1\)
4. 重叠律：\(A\cdot A=A,A+A=A\)
5. 非非律：\(\overline{\overline{A}}=A\)
6. 吸收律：\(A+AB=A,A\cdot (A+B)=A\)
7. 摩根律：\(\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B},\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}\)
8. 代入律：等式中变量\(A\)用另一变量\(G\)代替则等式仍然成立
9. 反演律：反函数\(F\)的导出规则为，或与互换，常量颠倒，变量反转，记作\(\overline{F}\)
10. 对偶律：导出规则：或与互换，常量颠倒，记作\(F'\)。若\(F=G\)，则\(F'=G'\)
11. 添加律：若两项中分别含\(A\)和\(\overline{A}\)，则加上它们系数组成的项不改变结果：\(AB+\overline{A}C=AB+\overline{A}C+BC\)

标准型

最小项：每个变量都以原/反变量的形式在一个式子中由与连接且出现一次，则称之为最小项。按照其原/反和下标可以将其以二进制编码唯一表示出来，记作\(m_n\)。将上面的最小项相或即可得到标准与或式。仅有一组取值能使其为1

最大项：同最小项，用或连接，记作\(M_n\)。最大项由与连接构成标准或与式。仅有一组取值使其为0

化为标准型可用真值表或者用\(A+\overline{A}=1,A\cdot \overline{A}=0\)。

逻辑门

基本逻辑门

![[Pasted image 20221218111855.png]]

上面三种基本逻辑门是基础。符号要记清楚，不过也有另一套表示方法，是用器件形状对应的。

复合逻辑门

![[Pasted image 20221218111911.png]]

这是三种复合器件：与非，或非还有与或非门。其逻辑式看图即可得到，略去不写。

同或与异或

• 异或 \(F=A\overline{B}+\overline{A}B\)
• 同或 \(F=AB+\overline{A}\overline{B}\)

它们的含义很简单：异或指输入相异时输出1，同或指输入相同时输出1。很明显这俩互为反函数，且同为对偶式。