信号与系统笔记

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1-信号与系统

1.1-信号与系统的概念

信号 是信息的载体

系统 是若干事物组成的功能性整体，其基本作用是对信号进行传输和处理。输入信号（激励），系统产生输出（响应）。

信号处理 对信号加工处理，去除无关信息。

通信过程分为两种，有线和无线。

1.2-信号的描述

描述

信号是信息的一种物理体现，一般是随时间或位置变化的物理量。可以分为电信号和非电信号。二者可以相互转换。

描述方式有函数和波形描述。

分类

按照实际用途可以分为电视，雷达，控制信号等等

按照所具有的时间特性划分：

• 确定信号和随机信号 能否用确定的时间函数表示的信号。
• 连续信号和离散信号 连续的时间范围内是否有定义的信号。

连续信号和离散信号分别可以对应模拟信号（时间和幅值均连续的信号）和数字信号。信号传输时通常采用数字信号的形式传输，在系统中使用时会重新解码为模拟信号。 模拟转数字过程：先抽样，转化为抽样信号（时间离散，幅值连续的信号）；再量化，转化为幅值和时间均为离散的信号（把一个区间内的值都映射为一个值），随后将信号进行编码再发射出去。 ![[Pasted image 20221220093016.png]]

• 周期信号和非周期信号 定义域在\((-\infty, +\infty)\)间，每隔\(T\)重复的信号。

判断两个周期信号的和信号是否为周期信号 设两信号周期分别为\(T_1,T_2\)，若\(\frac{T_1}{T_2}\)为有理数，则和信号是周期信号，且周期为\(T_1,T_2\)的最小公倍数。

正弦信号一定是周期信号，其和则不一定。

判断\(f(k)=sin(\beta k)\)是否为周期信号 ![[Pasted image 20221220094043.png]]

上面的\(\beta\)称为数字角频率，这意味着把信号离散化了。正弦序列不一定是周期序列，两个周期序列之和一定是周期序列。

• 能量信号与功率信号

信号瞬时功率 将信号\(f(t)\)施加到\(1\Omega\)的电阻上，其瞬时功率为\(\vert{f(t)}\vert^2\)。能量和平均功率的定义为：

\[E=\int \vert{f(t)}\vert^2 dt\] \[P=lim_{t \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\vert{f(t)}\vert^2 dt\]

若能量有界，则称为能量有限信号/能量信号。此时\(P=0\)；若功率有界，则称为功率有限信号/功率信号，此时\(E=\infty\)。

对于离散信号也一样，将积分改为求和即可：![[Pasted image 20221220095410.png]]

• 一维信号和多维信号 如音频信号/图像信号
• 因果信号与反因果信号 \(t<0,f(t)=0\)即因果信号，\(t\geq 0, f(t)=0\) 称为反因果信号
• 确定性信号

1. 指数信号\(f(t)=Ke^{\alpha t}\) 若只保留\(t\geq 0\)的部分则称为单边信号
2. 正弦信号\(f(t)=Ksin(\omega t+\theta)\) 在前面乘一个衰减的指数信号则称为衰减正弦信号
3. 复指数信号 把指数信号的\(\alpha\)换为\(s=\sigma +j\omega\)，即复数，这称为复频率![[Pasted image 20221220100315.png]]
4. 抽样信号\(Sa(t)=\frac{sin t}{t}\)，向两侧衰减的余弦信号![[Pasted image 20221220100538.png]]

1.3-信号的基本运算

加法和乘法

• 连续信号：函数相加/乘
• 离散信号：对应各离散量相加/乘

信号的时间变换

• 反转：将 \(f(t)\to f(-t)\) ，\(f(k)\to f(-k)\) 称为对信号\(f(\cdot)\)的反转或反折。从图形上看是将\(f(\cdot)\)以纵坐标为轴反转\(180^o\)：
• 平移：将 \(f (t) → f (t – t_0)\) ， \(f (k) → f (k – k_0)\)称为对信号\(f (·)\)的平移或移位。若\(t_0\) (或\(k_0\)) \(>0\)，则将\(f (·)\)右移；否则左移
• 展缩：将 \(f (t) → f (at)\) ， 称为对信号\(f(t)\)的尺度变换。若\(a >1\) ，则波形沿横坐标压缩；若\(0< a < 1\) ，则扩展：

组合变换

原图进行变换：

变换得到原图：

1.4-阶跃函数和冲激函数

这俩是奇异函数（函数本身有不连续点(跳变点) 或 其导数与积分有不连续点 的一类函数）

阶跃函数

函数如下：\(\epsilon(t)=0:x<=0;1,x>0\)

单位冲激函数

• 函数值只在t = 0时不为零
• 积分面积为1
• \(t=0\)时，\(\delta(t)\to \infty\)，为无界函数

对\(\epsilon(t)\)求导即可得到单位冲激函数\(\delta(t)\)。它高度无穷高，厚度无穷窄，面积为1。反过来，对单位冲激函数积分就可以得到\(\epsilon(t)\)。

它有如下重要性质：

1. 取样性：

例如： - \(sin(t+\frac{\pi}{4})\delta(t)=sin(\frac{\pi}{4})\delta(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\int_{-\infty}^{\infty}{sin(t-\frac{\pi}{4})\delta(t)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

2. 冲激偶：

3. 尺度变换：

2-连续系统的时域分析

2.1-LTI连续系统的响应

1. 微分方程的经典解

步骤相对固定：

先计算通解，再计算特解，随后回代特解和激励，得到特解的系数；最后回代，利用初始条件得到方程的未知系数。

• 计算通解：就是方程对应齐次微分方程的解。得到特征根后即可写出通解
• 计算特解：根据激励的形态确定特解形式。激励形式有指数、幂级数、三角函数三种形式，以及冲激函数。前三种有固定的特解形式
• 回代得到特解系数：就是回代，然后化简，就能得到特解系数
• 得到全解：通解=齐次解+特解。最后代入初始条件得到通解的系数，即可得到全解

2. 关于\(0_-\)和\(0_+\)值

3. 零输入响应

4. 零状态响应

5. 全响应

一般情况下，根据换路定律，二者应该是相等的。但是当激励中含有冲激函数及其导数时，\(t=0\)激励接入系统时，响应及其导数就可能发生跃变。这种情情况下，就需要手工计算二者。通常有两种方法：积分法和待定系数法。

2.2-冲激响应和阶跃响应

2.3-零状态响应与卷积积分

根据LTI系统的线性性质、齐次性质、时不变性质可以得到，任意激励\(f(t)\)的响应\(y_{zs}(t)\)为：

\[ y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{}f(\tau)h(t-\tau)d\tau=f(t)*h(t) \]

从直观上看，这相当于：\(f(t)\)引发的响应等于所有构成它的冲激函数单独作用引起的响应之和。

从而，计算LTI系统响应就可以直接用卷积积分计算，无需求解经典微分方程。一般步骤：

• 求\(h(t)\)：这一步就是求解微分方程，得到系统响应
• 求\(y_{zs}(t)\)：直接用任意激励\(f(t)\)卷上系统响应\(h(t)\)就能得到零状态响应\(y_{zs}(t)\)

2.4-卷积积分

定义：一般而言，有两个定义在实数域上的函数\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)，它们的卷积积分定义为：

\[ f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau} \]

计算方法也很多，比如图解法：已知二者波形时，先换元，将\(t\)换为\(\tau\)；再将\(f_2(\tau)\)变换为\(f_2(t-\tau)\)；随后将二者相乘，最后将乘积对\(\tau\)积分。注意，这里对乘积积分时，需要注意到\(t\)是个不确定的变量，应该分区间讨论。

性质：首先是代数运算，它满足

• 交换律
• 分配律
• 结合律

其次，是函数和冲激函数的卷积，这是最简单的一种情况。有以下结论：

\[ f(t)*\delta(t)=\delta(t)*f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\tau)f(t-\tau)d\tau}=f(t) \]

也就是任意函数卷上\(\delta(t)\)得到它本身。推广得：

\[ f(t)*\delta(t-t_0)=\delta(t-t_0)*f(t)=f(t-t_0) \]

还可以得到：

\[ f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f_1(t-t_2)*f_2(t-t_1)=f_1(t)*f_2(t)*\delta(t-t_1-t_2) \]

此外，还有：\(f(t)*\delta'(t)=f'(t)\)成立

3-离散系统的时域分析

4-傅里叶变换和系统的频域分析