信号与系统笔记

xeonds

2022.12.20 08:48:44

考核: 平时成绩 30% 阶段考核 10% 慕课考核 10% 期末考试 50%

1-信号与系统

1.1-信号与系统的概念

信号 是信息的载体

系统 是若干事物组成的功能性整体,其基本作用是对信号进行传输处理。输入信号(激励),系统产生输出(响应)。

信号处理 对信号加工处理,去除无关信息。

通信过程分为两种,有线和无线。

1.2-信号的描述

描述

信号是信息的一种物理体现,一般是随时间或位置变化的物理量。可以分为电信号和非电信号。二者可以相互转换。

描述方式有函数和波形描述。

分类

按照实际用途可以分为电视,雷达,控制信号等等

按照所具有的时间特性划分:

连续信号和离散信号分别可以对应模拟信号(时间和幅值均连续的信号)和数字信号。信号传输时通常采用数字信号的形式传输,在系统中使用时会重新解码为模拟信号。 模拟转数字过程:先抽样,转化为抽样信号(时间离散,幅值连续的信号);再量化,转化为幅值和时间均为离散的信号(把一个区间内的值都映射为一个值),随后将信号进行编码再发射出去。 ![[Pasted image 20221220093016.png]]

判断两个周期信号的和信号是否为周期信号 设两信号周期分别为\(T_1,T_2\),若\(\frac{T_1}{T_2}\)为有理数,则和信号是周期信号,且周期为\(T_1,T_2\)的最小公倍数。

正弦信号一定是周期信号,其和则不一定。

判断\(f(k)=sin(\beta k)\)是否为周期信号 ![[Pasted image 20221220094043.png]]

上面的\(\beta\)称为数字角频率,这意味着把信号离散化了。正弦序列不一定是周期序列,两个周期序列之和一定是周期序列

信号瞬时功率 将信号\(f(t)\)施加到\(1\Omega\)的电阻上,其瞬时功率为\(\vert{f(t)}\vert^2\)。能量和平均功率的定义为:

\[E=\int \vert{f(t)}\vert^2 dt\] \[P=lim_{t \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\vert{f(t)}\vert^2 dt\]

若能量有界,则称为能量有限信号/能量信号。此时\(P=0\);若功率有界,则称为功率有限信号/功率信号,此时\(E=\infty\)

对于离散信号也一样,将积分改为求和即可:![[Pasted image 20221220095410.png]]

  1. 指数信号\(f(t)=Ke^{\alpha t}\) 若只保留\(t\geq 0\)的部分则称为单边信号
  2. 正弦信号\(f(t)=Ksin(\omega t+\theta)\) 在前面乘一个衰减的指数信号则称为衰减正弦信号
  3. 复指数信号 把指数信号的\(\alpha\)换为\(s=\sigma +j\omega\),即复数,这称为复频率![[Pasted image 20221220100315.png]]
  4. 抽样信号\(Sa(t)=\frac{sin t}{t}\),向两侧衰减的余弦信号![[Pasted image 20221220100538.png]]

1.3-信号的基本运算

加法和乘法

信号的时间变换

组合变换

原图进行变换:

变换得到原图:

1.4-阶跃函数和冲激函数

这俩是奇异函数(函数本身有不连续点(跳变点)其导数与积分有不连续点 的一类函数)

阶跃函数

函数如下:\(\epsilon(t)=0:x<=0;1,x>0\)

单位冲激函数

\(\epsilon(t)\)求导即可得到单位冲激函数\(\delta(t)\)。它高度无穷高,厚度无穷窄,面积为1。反过来,对单位冲激函数积分就可以得到\(\epsilon(t)\)

它有如下重要性质:

  1. 取样性:

例如: - \(sin(t+\frac{\pi}{4})\delta(t)=sin(\frac{\pi}{4})\delta(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\int_{-\infty}^{\infty}{sin(t-\frac{\pi}{4})\delta(t)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

  1. 冲激偶:

  1. 尺度变换

2-连续系统的时域分析

2.1-LTI连续系统的响应

  1. 微分方程的经典解

步骤相对固定:

先计算通解,再计算特解,随后回代特解和激励,得到特解的系数;最后回代,利用初始条件得到方程的未知系数。

  1. 关于\(0_-\)\(0_+\)

  2. 零输入响应

  3. 零状态响应

  4. 全响应

一般情况下,根据换路定律,二者应该是相等的。但是当激励中含有冲激函数及其导数时,\(t=0\)激励接入系统时,响应及其导数就可能发生跃变。这种情情况下,就需要手工计算二者。通常有两种方法:积分法待定系数法

2.2-冲激响应和阶跃响应

2.3-零状态响应与卷积积分

根据LTI系统的线性性质、齐次性质、时不变性质可以得到,任意激励\(f(t)\)的响应\(y_{zs}(t)\)为:

\[ y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{}f(\tau)h(t-\tau)d\tau=f(t)*h(t) \]

从直观上看,这相当于:\(f(t)\)引发的响应等于所有构成它的冲激函数单独作用引起的响应之和。

从而,计算LTI系统响应就可以直接用卷积积分计算,无需求解经典微分方程。一般步骤:

2.4-卷积积分

定义:一般而言,有两个定义在实数域上的函数\(f_1(t)\)\(f_2(t)\),它们的卷积积分定义为:

\[ f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau} \]

计算方法也很多,比如图解法:已知二者波形时,先换元,将\(t\)换为\(\tau\);再将\(f_2(\tau)\)变换为\(f_2(t-\tau)\);随后将二者相乘,最后将乘积对\(\tau\)积分。注意,这里对乘积积分时,需要注意到\(t\)是个不确定的变量,应该分区间讨论。

性质:首先是代数运算,它满足

其次,是函数和冲激函数的卷积,这是最简单的一种情况。有以下结论:

\[ f(t)*\delta(t)=\delta(t)*f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\tau)f(t-\tau)d\tau}=f(t) \]

也就是任意函数卷上\(\delta(t)\)得到它本身。推广得:

\[ f(t)*\delta(t-t_0)=\delta(t-t_0)*f(t)=f(t-t_0) \]

还可以得到:

\[ f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f_1(t-t_2)*f_2(t-t_1)=f_1(t)*f_2(t)*\delta(t-t_1-t_2) \]

此外,还有:\(f(t)*\delta'(t)=f'(t)\)成立

3-离散系统的时域分析

4-傅里叶变换和系统的频域分析